期权定价模型

期权定价模型(OPM)----由布莱克与斯科尔斯在20世纪70年代提出。该模型认为,只有股价的当前值与未来的预测有关;变量过去的历史与演变方式与未来的预测不相关 。模型表明,期权价格的决定非常复杂,合约期限、股票现价无风险资产的利率水平以及交割价格等都会影响期权价格。

期权是购买方支付一定的期权费后所获得的在将来允许的时间买或卖一定数量的基础商品(underlying assets)的选择权。期权价格期权合约中唯一随市场供求变化而改变的变量,它的高低直接影响到买卖双方的盈亏状况,是期权交易的核心问题。早在1900年法国金融专家劳雷斯巴舍利耶就发表了第一篇关于期权定价的文章。此后,各种经验公式或计量定价模型纷纷面世,但因种种局限难于得到普遍认同。70年代以来,伴随着期权市场的迅速发展,期权定价理论的研究取得了突破性进展。

在国际衍生金融市场的形成发展过程中,期权的合理定价是困扰投资者的一大难题。随着计算机、先进通讯技术的应用,复杂期权定价公式的运用成为可能。在过去的20年中,投资者通过运用布莱克斯克尔斯期权定价模型,将这一抽象的数字公式转变成了大量的财富。

期权定价是所有金融应用领域数学上最复杂的问题之一。第一个完整的期权定价模型由Fisher Black和Myron Scholes创立并于1973年公之于世。BS期权定价模型发表的时间和芝加哥期权交易所正式挂牌交易标准化期权合约几乎是同时。不久,德克萨斯仪器公司就推出了装有根据这一模型计算期权价值程序的计算器。大多从事期权交易的经纪人都持有各家公司出品的此类计算机,利用按照这一模型开发的程序对交易估价。这项工作对金融创新和各种新兴金融产品的面世起到了重大的推动作用。

斯克尔斯与他的同事、已故数学家费雪布莱克(Fischer Black)在70年代初合作研究出了一个期权定价的复杂公式。与此同时,默顿也发现了同样的公式及许多其它有关期权的有用结论。结果,两篇论文几乎同时在不同刊物上发表。所以,布莱克斯克尔斯定价模型亦可称为布莱克斯克尔斯默顿定价模型。默顿扩展了原模型的内涵,使之同样运用于许多其它形式的金融交易瑞士皇家科学协会(The Royal Swedish Academyof Sciencese)赞誉他们在期权定价方面的研究成果是今后25年经济科学中的最杰出贡献。

1979年,科克斯(Cox)、罗斯(Ross)和卢宾斯坦(Rubinstein)的论文《期权定价:一种简化方法》提出了二项式模型(Binomial Model),该模型建立了期权定价数值法的基础,解决了美式期权定价的问题。

1、巴施里耶(Bachelier,1900)

2、斯普伦克莱(Sprenkle,1961)

3、博内斯(Boness,1964)

4、萨缪尔森(Samuelson,1965)

(1)BlackScholes公式

(2)二项式定价方法

(3)风险中性定价方法

(4)鞅定价方法等

期权定价模型基于对冲证券组合的思想。投资者可建立期权与其标的股票的组合来保证确定报酬。在均衡时,此确定报酬必须得到无风险利率。期权的这一定价思想与无套利定价的思想是一致的。所谓无套利定价就是说任何零投入的投资只能得到零回报,任何非零投入的投资,只能得到与该项投资的风险所对应的平均回报,而不能获得超额回报(超过与风险相当的报酬的利润)。从Black-Scholes期权定价模型的推导中,不难看出期权定价本质上就是无套利定价。 [1]

假设条件

1、标的资产价格服从对数正态分布

2、在期权有效期内,无风险利率金融资产收益变量是恒定的;

3、市场无摩擦,即不存在税收和交易成本

4、金融资产在期权有效期内无红利及其它所得(该假设后被放弃);

5、该期权是欧式期权,即在期权到期前不可实施。

定价公式

C=SN(D1)-L(E^(-γT))*N(D2)

其中:

D1=(Ln(S/L)+(γ+(σ^2)/2)*T)/(σ*T^(1/2))

D2=D1-σ*T^(1/2)

C期权初始合理价格

L期权交割价格

S所交易金融资产现价

T期权有效期

γ连续复利无风险利率H

σ2年度化方差

N()正态分布变量的累积概率分布函数,在此应当说明两点:

第一,该模型中无风险利率必须是连续复利形式。一个简单的或不连续的无风险利率(设为γ0)一般是一年复利一次,而γ要求利率连续复利。γ0必须转化为r方能代入上式计算。两者换算关系为:γ=LN(1+γ0)或γ0=Eγ-1。例如γ0=0.06,则γ=LN(1+0.06)=0583,即100以583-的连续复利投资第二年将获106,该结果与直接用γ0=0.06计算的答案一致。

第二,期权有效期T的相对数表示,即期权有效天数与一年365天的比值。如果期权有效期为100天,则T=100/365=0.274。

推导运用

(一)B-S模型的推导是由看涨期权入手的,对于一项看涨期权,其到期的期值是:E[G]=E[max(ST-L,O)]

其中,E[G]看涨期权到期期望值ST到期所交易金融资产的市场价值

L期权交割(实施)价

到期有两种可能情况:1、如果STL,则期权实施以进帐(In-the-money)生效,且mAx(ST-L,O)=ST-L

2、如果ST<>

max(ST-L,O)=0

从而:E[CT]=P×(E[ST|STL)+(1-P)×O=P×(E[ST|STL]-L)

其中:P(STL)的概率E[ST|STL]既定(STL)下ST的期望值将E[G]按有效期无风险连续复利rT贴现,得期权初始合理价格:C=P×E-rT×(E[ST|STL]-L)(*)这样期权定价转化为确定P和E[ST|STL]。

首先,

对收益进行定义。与利率一致,收益为金融资产期权交割日市场价格(ST)与现价(S)比值的对数值,即收益=1NSTS。由假设1收益服从对数正态分布,即1NSTS~N(μT,σT2),所以E[1N(STS]=μT,STS~EN(μT,σT2)可以证明,相对价格期望值大于EμT,为:E[STS]=EμT+σT22=EμT+σ2T2=EγT从而,μT=T(γ-σ22),且有σT=σT其次,求(STL)的概率P,也即求收益大于(LS)的概率。已知正态分布有性质:Pr06[ζχ]=1-N(χ-μσ)其中:ζ正态分布随机变量χ关键值μζ的期望值σζ的标准差所以:P=Pr06[ST1]=Pr06[1NSTS]1NLS]=1N-1NLS2)TTNC4由对称性:1-N(D)=N(-D)P=N1NSL+(γ-σ22)TσTArS第三,求既定STL下ST的期望值。因为E[ST|ST]L]处于正态分布的L到∞范围,所以,E[ST|ST]=S EγT N(D1)N(D2)

其中:

D1=LNSL+(γ+σ22)TσTD2=LNSL+(γ-σ22)TσT=D1-σT最后,

将P、E[ST|ST]L]代入(*)式整理得B-S定价模型:C=S N(D1)-L E-γT N(D2)(二)B-S模型应用实例假设市场上某股票现价S为 164,无风险连续复利利率γ是0.0521,市场方差σ2为0.0841,那么实施价格L是165,有效期T为0.0959的期权初始合理价格计算步骤如下:

①求D1:D1=(1N164165+(0.052)+0.08412)×0.09590.29×0.0959=0.0328

②求D2:D2=0.0328-0.29×0.0959=-0.570

③查标准正态分布函数表,得:N(0.03)=0.5120 N(-0.06)=0.4761

④求C:C=164×0.5120-165×E-0.0521×0.0959×0.4761=5.803

因此理论上该期权的合理价格是5.803。如果该期权市场实际价格是5.75,那么这意味着该期权有所低估。在没有交易成本的条件下,购买该看涨期权有利可图。

(三)看跌期权定价公式的推导B-S模型是看涨期权的定价公式。

根据售出购进平价理论(Put-callparity)可以推导出有效期权的定价模型,由售出购进平价理论,购买某股票和该股票看跌期权的组合与购买该股票同等条件下的看涨期权和以期权交割价为面值的无风险折扣发行债券具有同等价值,以公式表示为:

S+PE(S,T,L)=CE(S,T,L)+L(1+γ)-T

移项得:PE(S,T,L)=CE(S,T,L)+L(1+γ)-T-S,将B-S模型代入整理得:P=L E-γT [1-N(D2)]-S[1-N(D1)]此即为看跌期权初始价格定价模型。

发展

B-S模型只解决了不分红股票的期权定价问题,默顿发展了B-S模型,使其亦运用于支付红利股票期权。(一)存在已知的不连续红利假设某股票在期权有效期内某时间T(即除息日)支付已知红利DT,只需将该红利现值从股票现价S中除去,将调整后的股票价值S′代入B-S模型中即可:S′=S-DT E-rT。如果在有效期内存在其它所得,依该法一一减去。从而将B-S模型变型得新公式:

C=(S- E-γT N(D1)-L E-γT N(D2)

(二)存在连续红利支付是指某股票以一已知分红率(设为δ)支付不间断连续红利,假如某公司股票年分红率δ为0.04,该股票现值为164,从而该年可望得红利164×0.04=6.56。值得注意的是,该红利并非分4季支付每季164;事实上,它是随美元的极小单位连续不断的再投资而自然增长的,一年累积成为6.56。因为股价在全年是不断波动的,实际红利也是变化的,但分红率是固定的。因此,该模型并不要求红利已知或固定,它只要求红利按股票价格的支付比例固定。

在此红利现值为:S(1-E-δT),所以S′=S E-δT,以S′代S,得存在连续红利支付的期权定价公式:C=S E-δT N(D1)-L E-γT N(D2)

影响

自B-S模型1973年首次在政治经济杂志(Journalofpo Litical Economy)发表之后,芝加哥期权交易所交易商们马上意识到它的重要性,很快将B-S模型程序化输入计算机应用于刚刚营业的芝加哥期权交易所。该公式的应用随着计算机、通讯技术的进步而扩展。到今天,该模型以及它的一些变形已被期权交易商、投资银行、金融管理者、保险人等广泛使用。衍生工具的扩展使国际金融市场更富有效率,但也促使全球市场更加易变。新的技术和新的金融工具的创造加强了市场与市场参与者的相互依赖,不仅限于一国之内还涉及他国甚至多国。结果是一个市场或一个国家的波动或金融危机极有可能迅速的传导到其它国家乃至整个世界经济之中。中国金融体制不健全、资本市场不完善,但是随着改革的深入和向国际化靠拢,资本市场将不断发展,汇兑制度日渐完善,企业也将拥有更多的自主权从而面临更大的风险。因此,对规避风险金融衍生市场的培育是必需的,对衍生市场进行探索也是必要的,人们才刚刚起步。

二项式模型的假设主要有:

1、不支付股票红利。

2、交易成本与税收为零。

3、投资者可以以无风险利率拆入或拆出资金。

4、市场无风险利率为常数。

5、股票的波动率为常数。

假设在任何一个给定时间,金融资产的价格以事先规定的比例上升或下降。如果资产价格在时间t的价格为S,它可能在时间t+△t上升至uS或下降至dS。假定对应资产价格上升至uS,期权价格也上升至Cu,如果对应资产价格下降至dS,期权价格也降至Cd。当金融资产只可能达到这两种价格时,这一顺序称为二项程序。

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